Прости и сложени бројеви. Растављање броја на просте чиниоце
Пример: Колико делилаца имају бројеви 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, ...
Број 1 има само једног делиоца – број 1.
Број 2 има два делиоца:1 и 2.
Број 3 има два делиоца: 1 и 3.
Број 4 има три делиоца: 1, 2 и 4.
Број 5 има два делиоца: 1 и 5.
Број 6 има четири делиоца: 1, 2, 3 и 6.
Број 7 има два делиоца: 1 и 7.
Број 8 има четири делиоца: 1, 2, 4 и 8.
Број 9 има три делиоца: 1, 3 и 9.
Број 10 има три делиоца: 1, 2, 5 и 10.
И тако даље...
Закључак: Сваки природан број већи од 1 има бар два делиоца: 1 и самог себе.
Деф: Природан број је прост ако је дељив само јединицом и самим собом.
Нпр, то су бројеви: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, ... Једини паран прост број је 2.
Деф: Природан број је сложен ако је већи од 1 и није прост, тј. ако има више од два делиоца. Нпр, то су бројеви: 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 22, ...
Број 1 није ни прост ни сложен.
Дакле: скуп природних бројева састоји се од јединице, скупа простих и скупа сложених бројева.
Прости бројеви су одувек привлачили пажњу математичара који су покушавали да открију поступак којим би се издвојили само прости бројеви из скупа природних бројева. Али тог поступка нема!
Један од најинтересантнијих поступака „просејавања“ природних бројева је Ератостеново сито, замишљено као сито које пропушта све бројеве који нису прости.
Број 1 има само једног делиоца – број 1.
Број 2 има два делиоца:1 и 2.
Број 3 има два делиоца: 1 и 3.
Број 4 има три делиоца: 1, 2 и 4.
Број 5 има два делиоца: 1 и 5.
Број 6 има четири делиоца: 1, 2, 3 и 6.
Број 7 има два делиоца: 1 и 7.
Број 8 има четири делиоца: 1, 2, 4 и 8.
Број 9 има три делиоца: 1, 3 и 9.
Број 10 има три делиоца: 1, 2, 5 и 10.
И тако даље...
Закључак: Сваки природан број већи од 1 има бар два делиоца: 1 и самог себе.
Деф: Природан број је прост ако је дељив само јединицом и самим собом.
Нпр, то су бројеви: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, ... Једини паран прост број је 2.
Деф: Природан број је сложен ако је већи од 1 и није прост, тј. ако има више од два делиоца. Нпр, то су бројеви: 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 22, ...
Број 1 није ни прост ни сложен.
Дакле: скуп природних бројева састоји се од јединице, скупа простих и скупа сложених бројева.
Прости бројеви су одувек привлачили пажњу математичара који су покушавали да открију поступак којим би се издвојили само прости бројеви из скупа природних бројева. Али тог поступка нема!
Један од најинтересантнијих поступака „просејавања“ природних бројева је Ератостеново сито, замишљено као сито које пропушта све бројеве који нису прости.
Ератостеново сито
Пример: Желимо да нађемо све просте бројеве до 120.
- Напишемо на папиру бројеве од 2 до 120.
- Двојка је прост број. Избришемо све парне бројеве.
- Следећи број на списку је тројка. Обележимо и њу да је проста. Са списка бришемо 9,15,21,27,...
- Следећи број на списку је петица. И то је прост број. Са списка бришемо 25,35,55,65,85,95,115
- Следећа нам је на списку седмица. У списку простих бројева имамо за сада 2,3,5 и 7. Бришемо са списка 49, 77, 91 и 119.
Напомена: 56, 63, 70, 84, 98, 105 и 112 су већ раније избрисани.
- Следећи број је 11. Како је 11²>120 то обележавамо да су сви преостали бројеви прости. То су 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, ...
- Напишемо на папиру бројеве од 2 до 120.
- Двојка је прост број. Избришемо све парне бројеве.
- Следећи број на списку је тројка. Обележимо и њу да је проста. Са списка бришемо 9,15,21,27,...
- Следећи број на списку је петица. И то је прост број. Са списка бришемо 25,35,55,65,85,95,115
- Следећа нам је на списку седмица. У списку простих бројева имамо за сада 2,3,5 и 7. Бришемо са списка 49, 77, 91 и 119.
Напомена: 56, 63, 70, 84, 98, 105 и 112 су већ раније избрисани.
- Следећи број је 11. Како је 11²>120 то обележавамо да су сви преостали бројеви прости. То су 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, ...
Ератостеново сито - анимација
Растављање броја на просте чиниоце
Раставити природан број на чиниоце значи написати га у облику производа простих чинилаца.
Поступак растављања броја на чиниоце шематски се може приказати на следећи начин: у сваком кораку десно од усправне црте пишемо прост број којим је дати број дељив, а испод броја који делимо уписујемо добијени количник. Поступак се завршава када количник постане број 1. Ако се приликом растављања природног броја на просте чиниоце неки чилилац појави више пута, тада се дати број може приказати коришћењем степена датог простог броја. Нпр. , при чему број у горњем индексу означава број појављивања датог простог броја приликом растављања на чиниоце. Пример: Растави на просте чиниоце бројеве: 78, 315, 412, 1080, 8100. |
Преузимање
Prosti i slozeni brojevi. Rastavljanje broja na proste cinioce.doc | |
File Size: | 68 kb |
File Type: | doc |
O Eratostenu.doc | |
File Size: | 258 kb |
File Type: | doc |
Геогебра - издвајање простих бројева
Пример програма за проналажење простих бројева од 1 до 100 (у Pascal-у)
program Eratosten;
var A:array[1..100] of integer;
K:array[1..100] of boolean;
i,n,x:integer;
begin
readln(n);
for i:=2 to n do
begin
A[i]:=i;
K[A[i]]:=true;
end;
i:=2;
while (i*i<=n) do
begin
x:=i;
while (x<n) do
begin
x:=x+a[i];
if (x>=n) then
begin
x:=x-A[i];
break;
end;
K[a[x]]:=false;
end;
i:=i+1;
end;
for i:=2 to n do
If K[a[i]]=true then
writeln(a[i]);
end.
var A:array[1..100] of integer;
K:array[1..100] of boolean;
i,n,x:integer;
begin
readln(n);
for i:=2 to n do
begin
A[i]:=i;
K[A[i]]:=true;
end;
i:=2;
while (i*i<=n) do
begin
x:=i;
while (x<n) do
begin
x:=x+a[i];
if (x>=n) then
begin
x:=x-A[i];
break;
end;
K[a[x]]:=false;
end;
i:=i+1;
end;
for i:=2 to n do
If K[a[i]]=true then
writeln(a[i]);
end.
O Eратостену
Ератостен (276. г. пне. -194. г. пне.), рођен је у Кирени (данас у Либији), а умро у птоломејској Александрији. Стекао је славу као први који је упознао систем ширина и дужина, те први који је израчунао Земљину величину. Ератостен се образовао у Александрији и неколико година у Атини. Птоломеј III Еуергета именовао га је 236. г. пне. председником Александријске библиотеке. Ератостен је дао неколико важних доприноса математици и науци. Био је пријатељ са Архимедом. Око 255. г. пне. изумео је армиларну сферу, која се нашироко користила све до проналаска планеторијума у 18. веку. Међу савременицима је био познат под надимком „бета“ (грчки број два) јер су га у многим областима сматрали другим човеком читавог Медитерана. Њему се приписује систем земаљских координата са географским ширинама и дужинама, а први је познати научник који је израчунао обим Земље, на веома довитљив начин.
|
Најмногостранији и један од најзначајнијих научника александријских, Ератостен, који је ради разлике од филозофа назвао себе филологом, родио се у Кирени (данас у Либији) око године 276. пре нове ере. Најпре је у Александрији слушао филологију, а потом у Атини Зенона, Аристона са Хија и Аркесилаја. После Калимахове смрти поставио га је Птолемеј Еуергет за управника Александријске библиотеке. Умро је око године 194. пре нове ере. У елегији Еригонипевао је о атичком сељаку Икарију, који је први од Диониса научио да сади лозу, али су га пијани сељаци погубили. Његова ћерка Еригона са својом верном кујом нађе леш и обеси се и, напослетку, све троје буде уврштено међу звезде. Сличан садржај има сачувани прозни спис Претварања у звезде (Καταστερισμοί), у којем излажу приче о постанку сазвежђа. Дело с тим називом, које имамо и које му се приписује, није његово. Од његових дела је врло мало сачувано. Фрагменти поезије показују велику вештину. Док је Ератостен као песник ходио путем песника Калимаха, он га је као истраживач далеко превазишао. У свом великом делу Ο старој комедији он се бавио обиљем најразличитијих питања и утицао на проучавања својих наследника Еуфронија (учитеља Аристарховог), Аристофана и Дидима. Од својих колега добио је надимак Бета, јер је у многобројним областима свог рада свагда остао други. Два случаја побијају такав суд: у својим Хронограријама у којима се трудио да одреди време главним историјским догађајима, он је ударио основу хеленској хронологији, коју је даље могао да изграђује Аполодор из Атине. Ако и није у области математике био један од највећих, ипак је доследном применом егзактних сазнања основао математичку географију. Главно му је дело било Географија у три књиге, којим је постао прави творац те науке. У њему је изложио историју географије од првих почетака код Хомера до Александрових историчара, затим обрадио своје мисли о облику земље, коју је он сматрао за лопту. Главна његова заслуга састоји се у томе што се трудио да одреди обим земљине лопте, пошто је знао растојање између Александрије и Сијене. Дао је топографију и етнографију на основу карте коју је сам начинио. Поред тога, он се бавио и књижевно-историјским, математичким, филозофским и хронолошким проучавањима. У старини Тројански рат сматран је за историјску чињеницу. Ератостен, на пример, ставио је разарање Троје у 1184. годину пре нове ере. Тај датум су неки научници прихватили до данас. По Ератостену песник Хомер је живео 100 година после Тројанског рата.
Израчунавање обима Земље
Смислио је очигледан и једноставан начин да измери обим Земље. Ератостен је знао да је једног одређеног дана када је Сунце у највишој тачки (подне) у Сиени, оно сасвим вертикално (његови зраци су стизали до дна једног дубоког бунара). Одредио је да се тог истог дана у Александрији, кад је Сунце у својој највишој тачки, оно налази под углом од 1/50 круга јужно од његовог зенита, отприлике 7°12′. Знајући раздаљину између ова два места, а он је користио вредност од 5 000 стадија, могао је да израчуна дужину једног лучног степена. Према овим подацима би један степен износио око 700 стадија и тада би обим Земље био око 252 000 стадија. Уз претпоставку да је дужина Атичког стадиона била 185 метара, његов резултат за обим земље је око 46 620km. Овај резултат је око 16% већи од стварног, али је и наша рачуница само апроксимација и уз неке претпостављене вредности.